Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian suatu pernyataan matematika yang berkaitan dengan bilangan asli.

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

Misalnya terdapat suatu deret tak berhingga seperti berikut

    P(1),P(2),P(3),……

Jika:

  1. P(1) dapat dibuktikan benar, dan
  2. Untuk setiap k є ℕ, P(k)→P(k+1) benar (dengan mengasumsikan P(k, akan dibuktikan bahwa P(k+1)).

Maka P(n) benar untuk setiap n є ℕ.

Tahap pembuktian P(1) disebut juga tahap basis induksi dan tahap pembuktian P(k+1) disebut tahap induksi.

CONTOH PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Contoh 1:

Buktikan bahwa 1+3+5+….+(2n-1) = n² untuk setiap n є ℕ!

Jawab:

  • Langkah Basis

    Untuk n = 1, didapatkan:

    1=1²

    1=1 (benar)

  • Langkah Induksi

    Untuk n=k diasumsikan benar, maka didapatkan:

    1+3+5+…+(2k-1) = k²

Akan ditunjukkan untuk n=(k+1) benar

1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1) = k²+(2(k+1)-1)

= k²+(2k+2-1)

= k²+2k+1

= (k+1)²

Jadi, 1+3+5+….+(2n-1) = n² untuk setiap n є ℕ.

Contoh 2:

Buktikan bahwa 5²ⁿ – 1 dapat dibagi dengan 8 untuk semua n є ℕ!

Jawab:

  • Langkah Basis

    Untuk n=1, didapatkan :

    5²˙¹ – 1 = 5² – 1

    = 25 – 1

    = 24 (benar dapat dibagi 8)

  • Langkah Induksi

    Untuk n=k diasumsikan benar dan didapatkan

    5²ᵏ – 1 = 8x

Akan dibuktikan untuk n=(k+1) benar

5²⁽ᵏ⁺¹⁾ ˗ 1 = 5²ᵏ⁺² – 1

= 5² · 5²ᵏ – 1

= (25 · 5²ᵏ – 1) + (5²ᵏ – 5²ᵏ)

= 25 · 5²ᵏ – 5²ᵏ + 5²ᵏ – 1

= (25 – 1) 5²ᵏ + (5²ᵏ – 1)

= 24 · 5²ᵏ + 8x

= 8 (3· 5²ᵏ +x)

Jadi, 5²ⁿ – 1 dapat dibagi dengan 8 untuk semua n є ℕ.

Contoh 3:

Tunjukkan ketidaksamaan Bernoulli : jika 1+ɑ > 0, maka

(1 + ɑ)ⁿ ≥ 1 + nɑ

untuk semua n є

Jawab:

  • Langkah Basis

    Untuk n=1 didapatkan:

    (1 + ɑ) = (1 + ɑ) (benar)

  • Langkah Induksi

    Untuk n=k diasumsikan benar dan

    (1 + ɑ)ᵏ ≥ (1 + kɑ)

    Akan dibuktikan untuk n=(k+1) benar

    (1 + ɑ)ᵏ⁺¹ = (1 + ɑ) (1 + ɑ)ᵏ ≥ (1 + ɑ) (1 + kɑ)

    = 1+kɑ+ɑ+ɑ²k

    = ɑ²k+ (k+1)ɑ+1

    ≥ [(k+1)ɑ+1]

Jadi,[ (1 + ɑ)ⁿ ≥ 1 + nɑ] jika 1+ɑ > 0 untuk semua n є ℕ.

SUMBER**

Buku Panduan Mata Kuliah Logika Dan Himpunan, oleh Bpk. Syamsul Bahri, M.Si.

Jurnal Pengembangan Metode Induksi Matematika Dan Penerapannya Dalam Ruang Lingkup Matematika Diskrit, oleh Dimas Yusuf Danuwenda.

http://farida_a.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/24567/Pertemuan+06.doc

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196903301993031-KUSNANDI/Handout_TeoBil.pdf

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: